YouTubeを眺めていたら面白い動画（https://youtu.be/1_pfASO7eWA）があったので、忘れないように内容アウトプットしとく。
魔方陣とは、例えば正方形の3 × 3のマスがあったとしてそのマス数ひとつひとつにユニークな数字をそれぞれ入れた（3 × 3なら9個ということ）結果、タテ・ヨコ・斜めの数字を足すと、どこを足してと同じ数になるマスのことです。3 × 3のマスであれば三次魔方陣、4 × 4のマスであれば四次魔方陣と呼ばれます。
魔方陣の解が何通りあるかは証明されていています。なお、場合の数を調べる時は、回転や裏返しは同じとみなして考えます。
二次魔方陣 解なし
三次魔方陣 1通り
四次魔方陣 880通り
五次魔方陣 275,305,224通り
六次魔方陣 不明（約1,800京通りと推定）
今回は、三次魔方陣について1通りしかない事を証明します。
便宜上、三次魔方陣のマスを以下のアルファベットで表記します。
A B C
D E F
G H I
まずは、中央が5であることを示す。
三次魔方陣は、タテ・ヨコ・ナナメいずれの場合も和が15となることから、E = 5 の等式を成り立たせたい。
そのためにはEを通るナナメ２つとタテ１つの和から、E以外のマスを打ち消すよう等式を作れば導ける。
よって、
（A+E+I）+（C+E+G）+（B+E+H）-（A+ B+ C）-（G-H-I）
= 3E
となる。
三次魔方陣の性質から、3E = 15 なので
E = 5 である。
A B C
D 5 F
G H I
次に、角のマスには1が入らないことを示す。
回転や裏返しは同じものとみなすので、Aについてだけ考えればよい。
三次魔方陣の性質から A+5+I = 15 なので
A = 1 と仮定すると、I = 9 である。
1 B C
D 5 F
G H 9
この時、マスに入る最大値は8であることから、以下が成り立つ。
15 = 1+B+C ≦ 1+8+C
よって、C ≧ 6 ・・・①
また、マスに入る最小値は2であることから、以下が成り立つ。
15 = C+F+9 ≧ C+2+9
よって、C ≦ 4・・・②
①、②を同時に満たすことはできないため、矛盾。
従って、角のマスには1が入らないと言える。
ここまでの結果から、 B、D 、F、Hのいずれかに1が入ると言える。回転や裏返しは同じものとみなすので Bについてだけ考えればよい。
A 1 C
D 5 F
G H I
B = 1 であることから、
H = 15 -（1+5）= 9
A 1 C
D 5 F
G 9 I
残った数は 2,3,4,6,7,8 の６つ。
一行目について、A+C = 15 となるのは以下の2通りだが、回転や裏返しは同じものとみなすので どちらか一方のみ考えれば良い。
A = 8、C = 6・・・③
A = 6、C = 8・・・④
ここでは、③を使って考える。
8 1 6
D 5 F
G 9 I
残りの数は自明であり、
G = 4、I = 2、D = 3、F = 7 となる。
8 1 6
3 5 7
4 9 2
以上から、三次魔方陣は上記の１通りしかないと言える。
